Θέματα Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας.

Θέματα Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας.

1) Αν οι  είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: 



2) Έστω  ένα οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο  και έστω  το μέσο της . Η κάθετη από το σημείο  προς την  την τέμνει στο σημείο  και έστω  το συμμετρικό του  ως προς την . Οι προβολές του πάνω στις ,  και  είναι τα σημεία  αντίστοιχα. Αν  είναι ένα σημείο ώστε το περίκεντρο του τριγώνου  να είναι το μέσο του τμήματος  να αποδείξετε ότι το  βρίσκεται επί της ευθείας .

3) Ονομάζουμε λωρίδα πλάτους  το σύνολο των σημείων που βρίσκονται ανάμεσα ή πάνω σε δύο παράλληλες ευθείες που απέχουν απόσταση . Έστω  ένα σύνολο από  σημεία () στο επίπεδο που είναι τέτοιο ώστε οποιαδήποτε  διαφορετικά σημεία του συνόλου  να μπορούν να καλυφθούν από μία λωρίδα πλάτους . Να αποδείξετε ότι τα σημεία του συνόλου  μπορούν να καλυφθούν από μία λωρίδα πάχους .

4) Για οποιοδήποτε ακέραιο  (), συμβολίζουμε με  το άθροισμα όλων των θετικών ακεραίων που ο καθένας είναι ίσος το πολύ με  και δεν είναι πρώτος προς το . Να αποδείξετε ότι  για οποιοδήποτε αριθμό n και οποιοδήποτε πρώτο p.